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<!DOCTYPE html>

<title>Vertikalwinkel</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Vertikalwinkel</span></h1>

</header>

</div>

<p><b>Vertikalwinkel</b> sind in einer lotrechten Ebene gemessene <a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a>. In der <a href="Geod%C3%A4sie" title="Geodäsie">Geodäsie</a> und der <a href="Astrometrie" title="Astrometrie">Astrometrie</a> beschreiben sie insbesondere alle auf die <a href="Lotrichtung" title="Lotrichtung">Lotrichtung</a> bezogenen Winkel.

</p><p>Werden der <a href="Zenit" title="Zenit">Zenit</a>, der <a href="Nadir_(Richtungsangabe)" title="Nadir (Richtungsangabe)">Nadir</a> und der <a href="Horizont" title="Horizont">Horizont</a> als Ausgangslage gewählt, lassen sich folgende vier Vertikalwinkel definieren:

</p>

<ul><li><b>Zenitwinkel</b> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"></span> (auch <i>Zenitdistanz, Zenitabstand</i>): als Winkel eines Punktes unter dem Zenit;</li>

<li><b>Höhenwinkel</b> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

<li><b>Tiefenwinkel</b> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> (auch <i>Depressionswinkel</i>): als Winkel eines Punktes unter dem Horizont;</li>

<li><b>Nadirwinkel</b> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span>: als Winkel über dem Nadir (der Punkt, der dem Zenit gegenüberliegt).</li></ul>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h+z=90^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/391dc8c35d94083b103d1d6dc4aeac27e9d5cc51.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.745ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h+z=90^{\circ }}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n+t=90^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n+t=90^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a4d89f31f7eddea4e0962e7df0c247177d122eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.552ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n+t=90^{\circ }}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Höhenwinkel und Tiefenwinkel entsprechen dem Sehwinkel zwischen der <a href="Visierlinie" title="Visierlinie">Visierlinie</a> und dem Horizont. Zenitwinkel und Nadirwinkel entsprechen dem Sehwinkel zwischen der Visierlinie und der Lotrichtung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einheiten">Einheiten</h2></div>

<p>Vertikalwinkel werden in der <a href="Astronomie" title="Astronomie">Astronomie</a> oft in <a href="Grad_(Winkel)" title="Grad (Winkel)">Grad</a> oder sexagesimal in Grad-<a href="Bogenminute" class="mw-redirect" title="Bogenminute">Minuten</a>-<a href="Bogensekunde" class="mw-redirect" title="Bogensekunde">Sekunden</a> (° ′ ″) angegeben, während in der Geodäsie <a href="Gon" title="Gon">Gon</a> verwendet werden.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Beim <a href="Milit%C3%A4r" title="Militär">Militär</a> und in der <a href="Ballistik" title="Ballistik">Ballistik</a> wird als Winkeleinheit auch der „<a href="Strich_(Winkeleinheit)" title="Strich (Winkeleinheit)">Strich</a>“ verwendet (6400¯ = 360°), weil er die <a href="Entfernungsmessung" title="Entfernungsmessung">Entfernungsmessung</a> erleichtert (der <a href="Sinus" class="mw-redirect" title="Sinus">Sinus</a> von 1¯ ist fast genau 0,001).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Winkelarten">Winkelarten</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Höhenwinkel"><span id="H.C3.B6henwinkel"></span>Höhenwinkel</h3></div>

<p>Ein <i>Höhenwinkel</i> ist der Winkel eines Punktes über einer <a href="Referenzfl%C3%A4che" title="Referenzfläche">Referenzfläche</a> (etwa dem <a href="Horizont" title="Horizont">Horizont</a>). In der Astronomie wird er auch kurz als <i>Höhe</i> bezeichnet. In der Geodäsie bezeichnet <i><a href="H%C3%B6he" title="Höhe">Höhe</a></i> jedoch den lotrechten Abstand von der Referenzfläche.

</p><p>Die <a href="H%C3%B6henmessung" title="Höhenmessung">Höhenmessungen</a> mit <a href="Libelle_(Messtechnik)" title="Libelle (Messtechnik)">Libellen</a>- oder pendelkompensierten Instrumenten beziehen sich auf den „mathematischen Horizont“, der durch die Lotrichtung realisiert wird, also ohne auf die tatsächliche Erscheinung des Horizonts (geprägt z. B. durch Vegetation, Gebäude und Berge) Rücksicht zu nehmen. In der Seefahrt wurden mit üblichen <a href="Sextant" title="Sextant">Sextanten</a> die Sonnen- oder Sternhöhen über der <a href="Horizont#Horizont_in_der_Nautik,_Kimmlinie" title="Horizont">Kimm</a> gemessen, das ist die scheinbare Trennlinie zwischen Meer und Himmel. Die <a href="Kimmtiefe" class="mw-redirect" title="Kimmtiefe">Kimmtiefe</a> ist dann von der Messung abzuziehen, um den Höhenwinkel zu erhalten.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tiefenwinkel">Tiefenwinkel</h3></div>

<p>Ein Tiefenwinkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</p><p>Er wird wie der Höhenwinkel verwendet, aber für Fälle, in denen der Beobachter höher steht als das Objekt. In diesem Fall hat der Höhenwinkel ein negatives <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a>, der Tiefenwinkel aber ein positives. Für Objekte unterhalb des Horizonts gilt also <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=-h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=-h}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffaf13ef990b2ede0facaa8319ef3462b779cdbc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.085ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t=-h}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Der Tiefenwinkel wird mitunter als <a href="Depressionswinkel" class="mw-redirect" title="Depressionswinkel">Depressionswinkel</a> bezeichnet. Er ist vom Neigungswinkel zu unterscheiden, der die Neigung eines Geräts bezüglich der Lotrichtung beschreibt und sowohl positiv als auch negativ sein kann.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zenitwinkel">Zenitwinkel</h3></div>

<p>Der <i>Zenitwinkel</i> oder die <i>Zenitdistanz</i> ist der Winkel zwischen einem Zielpunkt und der <a href="Lotrichtung" title="Lotrichtung">Lotrichtung</a>. Ehemals wurde der Zenitwinkel auch „Vertikalwinkel“ genannt, was heute aber aufgrund missverständlicher Begriffsnutzung vermieden wird.

</p><p>Die Verwendung von Zenitwinkeln im Gegensatz zu Höhen- und Tiefenwinkeln hat mehrere Vorteile:

</p>

<ul><li>Zenitwinkel benötigen kein Vorzeichen, weil sie immer zwischen 0° und 180° liegen (zwischen 0° und 90° bei Objekten über dem Horizont und zwischen 90° und 180° bei Objekten unter dem Horizont).</li>

<li>Der Bezug zur Vertikalachse des <a href="Messinstrument" class="mw-redirect" title="Messinstrument">Messinstruments</a> ist ein direkter (die üblichen Formeln gelten auch für schrägliegende Messachsen, etwa im <a href="Maschinenbau" title="Maschinenbau">Maschinenbau</a>)</li>

<li>Der <a href="Zenit" title="Zenit">Zenit</a> ist klar definiert, während mit dem Bezug auf den „Horizont“ der mathematische gemeint sein kann, aber auch der <a href="Kimmlinie" class="mw-redirect" title="Kimmlinie">nautische</a> Horizont, ein <a href="Kreisel" title="Kreisel">Kreisel</a>- oder der <a href="Landschaft" title="Landschaft">Landschafts</a>horizont.</li>

<li>Die meisten Messgeräte verwenden den Zenitwinkel als ausgegebenen Vertikalwinkel.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nadirwinkel">Nadirwinkel</h3></div>

<p>Nadirwinkel werden vor allem in der <a href="Fernerkundung" title="Fernerkundung">Fernerkundung</a> und <a href="Photogrammetrie" title="Photogrammetrie">Photogrammetrie</a> verwendet. Der Winkel zum Nadir liegt bei Luftbildaufnahmen idealerweise um 0° herum, da zu große Abweichungen zum Nadir Bildverzerrungen hervorrufen und die Orthogonalaufnahme unbrauchbar machen. Bei horizontnahen Punkten liegt der zum Horizont gerichtete Nadirwinkel bei 90°.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verwendung">Verwendung</h2></div>

<p>Vertikalwinkel dienen zur Bestimmung von <a href="H%C3%B6he" title="Höhe">Höhen</a>, der <a href="Geografische_Koordinaten" class="mw-redirect" title="Geografische Koordinaten">geografischen Koordinaten</a>, zur <a href="Vermessung" title="Vermessung">Vermessung</a> von <a href="Terrestrisch" title="Terrestrisch">terrestrischen</a> Objekten und Positionen sowie in der <a href="Astronomie" title="Astronomie">Astronomie</a> zur Einmessung von <a href="Himmelsk%C3%B6rper" class="mw-redirect" title="Himmelskörper">Himmelskörpern</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verwendung_in_der_Astronomie">Verwendung in der Astronomie</h3></div>

<p>Den Höhenwinkel eines Himmelskörpers nennt man <i>astronomische Höhe</i> (auch deutsch <i>Altitude</i>); er wird üblicherweise mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"></span> bezeichnet. Die Höhe eines Gestirns kann zwischen +90° (der Zenit) und −90° (der Nadir) betragen, wobei eine positive Höhe anzeigt, dass das Objekt über dem Horizont steht, während eine negative Höhe bedeutet, dass das Objekt unter dem Horizont steht.

</p><p>Zusammen mit dem <a href="Azimut" title="Azimut">Azimut</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> bildet die Höhe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"></span> ein <i><a href="Topozentrisches_horizontales_Koordinatensystem" class="mw-redirect" title="Topozentrisches horizontales Koordinatensystem">topozentrisches horizontales Koordinatensystem</a></i> oder allgemeiner ein <i><a href="Azimutales_Koordinatensystem" class="mw-redirect" title="Azimutales Koordinatensystem">azimutales Koordinatensystem</a></i>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verwendung_in_der_Geodäsie"><span id="Verwendung_in_der_Geod.C3.A4sie"></span>Verwendung in der Geodäsie</h3></div>

<p>In der <a href="Geod%C3%A4sie" title="Geodäsie">Geodäsie</a> beschränkt sich die Verwendung der Vertikalwinkel auf zwei, da sie für ihre Ausgangslage jeweils eindeutig bestimmt werden können:<sup id="cite_ref-volquardts-matthews-7_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-volquardts-matthews-7-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-witte-schmidt_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-witte-schmidt-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.095ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \zeta }" loading="lazy"></span> (oder <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"></span>): als Winkel eines Punktes unter dem <a href="Zenit" title="Zenit">Zenit</a>;</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"></span> (oder <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span>): als Winkel eines Punktes über oder unter dem <a href="Horizont" title="Horizont">Horizont</a>, wobei das Vorzeichen die Richtung bestimmt;</li></ul>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta +\zeta =90^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bfc98491103257a49bb799eaead712825a0a25e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.745ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \beta +\zeta =90^{\circ }}" loading="lazy"></span>.

</p><p>In der Geodäsie wird ein Tiefenwinkel üblicherweise durch einen Höhenwinkel mit negativem Vorzeichen ausgedrückt.<sup id="cite_ref-volquardts-matthews-7_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-volquardts-matthews-7-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-witte-schmidt_4-1" class="reference"><a href="#cite_note-witte-schmidt-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-ingensand_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-ingensand-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Ebenso wird der Nadirwinkel durch den supplementären Zenitwinkel ersetzt.<sup id="cite_ref-witte-schmidt_4-2" class="reference"><a href="#cite_note-witte-schmidt-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-ingensand_5-1" class="reference"><a href="#cite_note-ingensand-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Messung">Messung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Richtungsbezug">Richtungsbezug</h3></div>

<p>Ein gemessener Vertikalwinkel bezieht sich auf die <i><a href="Wahre_Lotrichtung" class="mw-redirect" title="Wahre Lotrichtung">wahre Lotrichtung</a></i> – auch <i>astronomische Lotrichtung</i> genannt – und damit auf das <i>natürliche Koordinatensystem</i>. Jedoch kann sich ein geodätisch berechneter Vertikalwinkel auch auf die <a href="Orthogonale" class="mw-redirect" title="Orthogonale">Normale</a> des <a href="Erdellipsoid" class="mw-redirect" title="Erdellipsoid">Erdellipsoids</a> im Messpunkt beziehen. Diese schließt mit dem wahren Lot (welche auf dem <a href="Geoid" title="Geoid">Geoid</a> und somit auf dem messbaren Schwerefeld der Erde beruht) die <i><a href="Lotabweichung" title="Lotabweichung">Lotabweichung</a></i> ein. Sie kann im Hügelland etwa 10″ betragen, im Hochgebirge aber 30–60″ erreichen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Realisierung_des_Richtungsbezugs">Realisierung des Richtungsbezugs</h3></div>

<p>Den Bezug des Messgeräts auf die exakte Lotrichtung stellt eine <a href="Libelle_(Messtechnik)" title="Libelle (Messtechnik)">Libelle</a> oder ein <a href="Lotsensor" class="mw-redirect" title="Lotsensor">Lotsensor</a> her. Letzterer kann ein Flüssigkeits-Kompensator im Strahlengang des <a href="Zielfernrohr" title="Zielfernrohr">Zielfernrohrs</a> sein, oder ein kleiner <a href="Pendel" title="Pendel">Pendel</a>körper in der <a href="Ablesung" title="Ablesung">Ableseoptik</a>. In der Technik und <a href="Navigation" title="Navigation">Navigation</a> wird auch bezüglich von <a href="Kreisel" title="Kreisel">Kreisel</a>plattformen gemessen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Messgeräte"><span id="Messger.C3.A4te"></span>Messgeräte</h3></div>

<p>Die wichtigsten Instrumente für Vertikalwinkelmessungen sind, nach ihrer <a href="Messgenauigkeit" class="mw-redirect" title="Messgenauigkeit">Messgenauigkeit</a> geordnet:

</p>

<ul><li><a href="Zenitteleskop" title="Zenitteleskop">Zenitteleskop</a> und <a href="Photographisches_Zenitteleskop" title="Photographisches Zenitteleskop">Fotografisches Zenitteleskop</a> sowie</li>

<li><a href="Zenitkamera" title="Zenitkamera">Zenitkameras</a>, <a href="Meridiankreis" title="Meridiankreis">Meridiankreis</a> und <a href="Passageninstrument" title="Passageninstrument">Passageninstrument</a> (±0,01…0,1″)</li>

<li><a href="Theodolit" title="Theodolit">Theodolit</a> und <a href="Tachymeter_(Geod%C3%A4sie)" title="Tachymeter (Geodäsie)">Tachymeter</a> (je nach Zweck ±0,5…10″)</li>

<li><a href="Lot_(Schifffahrt)" title="Lot (Schifffahrt)">Lotinstrumente</a> und <a href="Neigungsmesser" title="Neigungsmesser">Neigungsmesser</a>; für nautische Höhenmessung auch <a href="Sextant" title="Sextant">Sextanten</a> (± 0,5…5′)</li>

<li><a href="Winkelmesser" title="Winkelmesser">Winkelmesser</a> und <a href="Peilung" title="Peilung">Peilgeräte</a> (±0,2…1°).</li>

<li><a href="Astrolabium" title="Astrolabium">Astrolab</a>, das Navigationsgerät der frühen Seefahrer, ca. ±0,5°.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Korrekturen">Korrekturen</h3></div>

<p>Für höhere Genauigkeiten als eine <a href="Bogenminute" class="mw-redirect" title="Bogenminute">Bogenminute</a> muss der gemessene Vertikalwinkel unbedingt um den Einfluss von <i>Höhenindexfehler</i> und <i>Refraktion</i> reduziert werden:

</p>

<ul><li>Der <a href="H%C3%B6henindexfehler" title="Höhenindexfehler">Höhenindexfehler</a> ist die Abweichung der Nullrichtung des Instrumentes von der Lotrichtung bzw. von der Horizontalen. Er wird mit der Höhenkreis-Libelle oder (bei neueren Theodoliten) mit einem <a href="Neigungssensor" title="Neigungssensor">Neigungssensor</a> bestimmt.</li>

<li>Jede Messung innerhalb der <a href="Erdatmosph%C3%A4re" title="Erdatmosphäre">Erdatmosphäre</a> wird von der Refraktion beeinflusst. Verläuft der Lichtstrahl gänzlich innerhalb der Atmosphäre, spricht man von <i><a href="Terrestrische_Refraktion" title="Terrestrische Refraktion">terrestrischer Refraktion</a></i>.</li>

<li>Wird hingegen ein <a href="Gestirn" title="Gestirn">Gestirn</a> oder ein <a href="Erdsatellit" class="mw-redirect" title="Erdsatellit">Erdsatellit</a> eingemessen, nennt man die Lichtkrümmung <i>Satelliten-</i> bzw. <i><a href="Astronomische_Refraktion" title="Astronomische Refraktion">astronomische Refraktion</a></i>. Sie beträgt bei einem <a href="Zenitdistanz" class="mw-redirect" title="Zenitdistanz">Zenitwinkel</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=45^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=45^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/faead0d734b6730072ad2f171976f519f2e66fa8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.566ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle z=45^{\circ }}" loading="lazy"></span> etwa 1′ (55–65″) und bei horizontnahen Gestirnen bis zu 0,6° (33–40′). Die Krümmung des Lichtverlaufs aufgrund der terrestrischen Refraktion wird hingegen in Bruchteilen der <a href="Erdkr%C3%BCmmung" title="Erdkrümmung">Erdkrümmung</a> angegeben und beläuft sich im Durchschnitt auf das 0,13-fache des reziproken <a href="Erdradius" title="Erdradius">Erdradius</a>. Sie kann jedoch in Bodennähe (insbesondere im <a href="Sommer" title="Sommer">Sommer</a>) auch negative Werte annehmen.</li>

<li>Für spezielle Zwecke der <a href="Erdmessung" title="Erdmessung">Erdmessung</a> und Landesvermessung ist auch eine <a href="Topografische_Reduktion" title="Topografische Reduktion">Reduktion</a> wegen des Einflusses der <a href="Lotabweichung" title="Lotabweichung">Lotabweichung</a> (bis zu 50″) vorzunehmen.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Vertikalkreis_(Geometrie)" title="Vertikalkreis (Geometrie)">Vertikalkreis (Geometrie)</a></li>

<li><a href="Gefahrenstandlinie" title="Gefahrenstandlinie">Gefahrenstandlinie</a></li>

<li><a href="Methode_gleicher_H%C3%B6hen" title="Methode gleicher Höhen">Methode gleicher Höhen</a></li>

<li><a href="Einfallswinkel" title="Einfallswinkel">Einfallswinkel</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Emil Bachmann: <i>Vermessungskunde für Ingenieure und Techniker</i>. Archimedes-Verlag, Kreuzlingen 1950.</li>

<li>Hans Volquardts und Karl Matthews: <i>Vermessungskunde</i>. 26. Auflage, VIII, B. G. Teubner, Stuttgart 1985.</li>

<li><a href="Bertold_Witte" title="Bertold Witte">Bertold Witte</a> und Hubert Schmidt: <i>Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das Bauwesen</i>. S. 250, Band 17, 4. Auflage, Verlag Konrad Wittwer, Stuttgart 2000.</li>

<li>Walter Großmann und <a href="Heribert_Kahmen" title="Heribert Kahmen">Heribert Kahmen</a>: <i>Vermessungskunde</i>. 12. Auflage, De Gruyter, Berlin und New York 1988.</li>

<li>Heribert Kahmen: <i>Vermessungskunde</i>. 18./20. Auflage, De Gruyter, Berlin 1993 und 2005.</li>

<li><a href="Wolfgang_Torge" title="Wolfgang Torge">Wolfgang Torge</a>: <i>Geodäsie</i>. 2. Auflage, De Gruyter, Berlin 1975.</li>

<li>Industrieverlag: <i>Taschenbuch der Navigation</i>. Karlheinz Gehölsen GmbH, Heidelberg ~1967.</li>

<li>Hilmar Ingensand: <i>Einführung in die geodätische Messtechnik</i>. Institut für Geodäsie und Photogrammetrie, ETH Zürich, Zürich 2012.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Hans Volquardts und Karl Matthews: <i>Vermessungskunde (Teil 2)</i>. 14. Auflage, VIII, S. 7–8, B. G. Teubner, Stuttgart, 1981.</span>

</li>

<li id="cite_note-volquardts-matthews-7-2"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-volquardts-matthews-7_2-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-volquardts-matthews-7_2-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">Hans Volquardts und Karl Matthews: <i>Vermessungskunde (Teil 2)</i>. 14. Auflage, VIII, S. 7, B. G. Teubner, Stuttgart, 1981.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Walter Großmann und <a href="Heribert_Kahmen" title="Heribert Kahmen">Heribert Kahmen</a>: <i>Vermessungskunde</i>. 12. Auflage, III, S. 13–33, De Gruyter-Verlag, Berlin und New York 1988.</span>

</li>

<li id="cite_note-witte-schmidt-4"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-witte-schmidt_4-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-witte-schmidt_4-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-witte-schmidt_4-2">c</a></sup></span> <span class="reference-text">Bertold Witte und Hubert Schmidt: <i>Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das Bauwesen</i>. S. 250, Band 17, 4. Auflage, Verlag Konrad Wittwer, Stuttgart, 2000.</span>

</li>

<li id="cite_note-ingensand-5"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-ingensand_5-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-ingensand_5-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">Hilmar Ingensand: <i>Einführung in die geodätische Messtechnik</i>. S. 79–82, Institut für Geodäsie und Photogrammetrie ETH Zürich, Zürich 2012.</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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